MATH21112 Rings and Fields

Example Sheet 1 - Properties of Z and Zn

1.  Find the greatest common divisor of 2827 and 374 and write the gcd as a linear combination of 2827 and 374.

2.  Let n ∈ Z with n ≥ 2.  Prove that 三 mod n has the following properties:

(i) 8a ∈ Z, a 三 a mod n.

(ii) 8a, b ∈ Z, if a 三 b mod n, then b 三 a  mod n.

(iii) 8a,b, c ∈ Z, if a 三 b mod n and b 三 c mod n, then a 三 c  mod n.

(We say that 三 mod n is an equivalence relation on the set of integers.)

3.  Let  a,b, n  ∈  Z  with  n  ≥ 2.    Prove  that  a  三  b mod  n  if  and  only  if [a]n  = [b]n .

4.  Suppose that a, n ∈ Z, with n ≥ 2, are coprime (ie.  gcd(a, n) = 1).  Show that there exists [b]n  ∈ Zn  such that [ab]n  = [1]n.