MATH20212 Algebraic Structures 2

Take Away Test

1.  Let S = {a + b√-2 | a, b ∈ Q}.  Show that S is a subring of C. Is S a field?  Explain your answer. [5 marks]

2.  Write down a zero divisor in M3 (Z).

Consider the matrix equation AX = A, where A is a zero divisor in M3 (Z). Explain why there is more than one solution for X ∈ M3 (Z).

Find two solutions for X ∈ M3 (Z) using your zero divisor as the matrix A. [5 marks]

3.  Consider the  map θ : Z10  → Z5  × Z2 , defined  by θ([a]10 ) = ([a]5, [a]2 ) for all  [a]10  ∈ Z10 .  Explain why θ is a well-defined function.

Show that θ is a ring homomorphism. Is θ injective?  Explain your answer.  [6 marks]

4.  Let I = {p(X) ∈ R[X] | p(3) = 0}.  Show that I is an ideal of R[X]. By finding a suitable generator, write I as a principal ideal.[4 marks]