Lineare Algebra II

Ubungsblatt 5

SS 2024

Aufgabe 1. Seien x = (x1, . . . , xn) ∈ R n und y = (y1, · · · , yn) ∈ R n . Die Cauchy-Schwarzsche Ungleichung besagt, dass

Beweisen Sie die Cauchy-Schwarzsche Ungleichung mit Hilfe der Formel von Cauchy-Binet. Zeigen Sie außerdem, dass Gleichheit gilt genau dann wenn x und y linear abh¨angig sind. [Hinweis: Konstruieren Sie aus x und y eine geeignete Matrix A ∈ R 2×n , sowie eine Matrix B ∈ R n×2 .]

Aufgabe 2. Sei K ein K¨orper, λ ∈ K, und n ≥ 1 eine nat¨urliche Zahl. Sei

Bestimmen Sie die Invariantenteiler1 der Matrix XEn − A ∈ K[X] n×n .

Aufgabe 3. Sei A ∈ R 4×4 eine Matrix mit charakteristischem Polynom χA = (X + 2)3 (X − 3). Bestimmen Sie alle Tupel (c1, . . . , c4) normierter Polynome, die als Invariantenteiler von XE4 − A auftreten k¨onnen.

Aufgabe 4. Untersuchen Sie, welche der folgenden Matrizen ¨ahnlich sind, und welche nicht: