Asset Pricing Theory – Assignment (by two)

Due date:  11:59 pm, November 15th 2024

1 CAPM in a CARA-Normal Setup

Consider an economy with 2 dates t = 0 and t = 1

Financial markets:

● At t = 0, K risky securities can be traded at price pk , as well as a risk-free security, at price pf .

● At t = 1, risky security k pays of a random amount per share equal to ˜(a)k  ~ N(μk , σk(2)), with  Var[˜(a)] the variance-covariance matrix which is invertible by  assumption.   The risk-free security always pays 1 per share.

● Denote p,   =  (p1, . . . , pK ) the vector of prices, pf   = ,  and ˜(a),   =  (˜(a)1 , . . . , ˜(a)K ) the vector of random pay-ofs

Investors:

● I investors can trade on financial markets

● At t = 0, investor i ∈ {1, . . . , I} already holds a portfolio of risky securities zi (0) = (z1(i)(0), . . . , zK(i) (0)) (no risk-free security).

● Each investor will trade to obtain a new portfolio of risky securities, (zi ),  = (z1(i) , . . . , zK(i)),

and risk-free security zf(i) .

● At t = 1, on top of the portfolio’s pay-of, investor i receives a random wage ξi.

● All investors agrees about the pay-ofs distributions

● For a risky pay-of ˜(c)i  at t = 1, investor i draws at t = 0 an expected utility, E[ui (˜(c)i )], with ui (x) = -τi exp(-x/τi ).  (τi  = risk tolerance = 1/risk aversion).

Questions:

1.  For given prices, compute the initial wealth of investor i.

2.  Define the aggregate supply of security k , Sk , for all k ∈ {1, . . . , K}.

3.  Give the market equilibrium conditions for all financial markets (risk-free security in- cluded).

4.  Give the investor i budget constraint at t = 0.

5.  Show that investor i objective function, is equivalent to the following mean-variance criterion:

,  avec Izi -

6.  Determine investor i demand function zi (p).

7.  Determine the aggregate demand function z(p) (we will denote τ =εi τi ).

8.  Determine the equilibrium vector of prices, p* .

9.  Consider the case where there is no random wage (ξi  = 0 8i).  The objective is to study the risk premium of risky securities.

● Denote ZM  = (S1 , S2, . . . , SK ) the market portfolio, pM(*) = (p* )I ZM  its price, and˜(a)M  =˜(a)I ZM  its pay-of.

(i)  W˜rite the risk premium of security k , as a of the covariance between

Write the relation between the market portfolio risk premium,

the variance of its pay-of, Var[˜(a)M ].

Write the relation between the risk premium of security k , , and the market portfolio risk premium,

● Let ˜(r)k   = - 1  and - 1,  the returns of security  k and the market

portfolio.  Write the risk premium of security  k , E[˜(r)k ] - rf  as a function of the market portfolio risk premium, E[˜(r)M ] - rf .

2    Arrow-Debreu securities in a CARA-Normal Setup

Consider an economy with two date t = 0 and t = 1. In this economy there is a risky security that pays-of a random amount per share˜(a) ~ N(µ, σ2 ) at t = 1. The asset aggregate supply is Q.

At t  = 0 investors pick their portfolios.  A portfolio is made of the risky asset and the risk-free asset that pays-of 1 per share at t = 1. The risk-free rate is rf .

Investor i draws some expected utility from her final wealth, ˜(y)i   a、t = 1.  It is computed as E[ui (yi )] where,

We will denote τ =Σi τi.

1. Show that the equilibrium price of the risky asset is

From now on, we reconsider the problem by an approach 、a la Arrow-Debreu.  We assume that at t = 1, there are an infinite number of states of the world.  Each state is indexed by the realization of the random variable˜(a) . State of the world a occurs with probability φ(a).da where

In state a, each agent i is endowed with wealth (or consumption units) wi (a) such that

The Arrow-Debreu security indexed by a pays-of one unit of wealth per share in state a, and zero otherwise.  Its price (infinitesimal) is denoted q(a).da.  We will take the Arrow- Debreu security indexed by a = 0 as the num/eraire, that is q(0) = 1. Function q is assumed integrable.

2. Explain why agent i Lagrangian to be optimized is

3.  For an integrable function f we can define the following derivative

Show  that  the  first  order  conditions  of the  maximization  program,  max{yi (a)}a∈R  Li , imply

4.  Show that the equilibrium prices are

5.  Show that the risk free rate is defined as follows

6.  Finally, show that a security that pays-of ˜(a) per share at t = 1 has a price equal to