Class Test I, MTH201

DATE: October 13th, 2023

Q 1. (20 Marks) Does the following function

f(x, y, z) def = xyz                   for all x, y and z                   (1)

describe  a scalar field  or a vector field  ?  If it  is  a  scalar field, find  its  gradient.  If it is  a vector field, find its divergence.

Q 2. (20 Marks)  Figure  1 shows  a vector field F and  a  directed curve Γ in the xy-plane. What is  the  sign  of the  line  integral of F along Γ  as  indicated in  the figure.   Justify your answer as well.  Answer without any justifications will get only few marks.

Figure 1: A vector field F and a directed curve Γ .  All the vectors of F point in the positive direction of y-axis.

Q 3. (20 Marks) Evaluate the line integral of

F(x, y, z) def = zi + xj + yk         for any x, y and z,              (5)

along a straight line Γ from  (1, 1, 0) to (0, 0, 1) .

Q 4. (20  Marks)  Let E be  the  electric field  generated  by  a  postive point  charge  q  that is fixed at the origin O of a coordinate system.  Evaluate the surface integral of E through the surface

S def = {(x, y, z)| − 1 ≤ x ≤ 1, −1 ≤ z ≤ 1, y = 1}                  (14)

in the positive direction of y-axis  (Figure 2) .

Figure 2

Q 5. (20 Marks) Is it possible to find a scalar field u such that its gradient is

▽u = —6xyi + (3y2  — 3x2 )k,        for any x,y and z ?                       (17)

If so, give your example of u and justify your choice.  If not, give your reasoning.