Number Theory (MA3Z7)

Problem Sheet VI

1. Let Q ∈ R.  Find the generating function of σα (n) =Σd|ndα .

2. Prove that

for s > max{cf , cg } with cf  and cg  the abscissa of absolute con- vergence of Σ f(n)n—s  and Σ∞n=1 g(n)/ns  respectively, where h is given by

the Dirichlet convolution of f and g (see Problems IV, Question 2).

3. Show that

has abscissa of convergence equal to 0 and abscissa of absolute convergence 1.

Further, prove that for s > 1,

4. Let g(n) =Σdjn μ(d)2 .  Show that

(i) g(n) is multiplicative;

(ii) g(pk ) = 2 for p prime and k ∈ N;

(iii) g(n) = 2ω(n), where ω(n) is the number of distinct prime factors of n;

(iv) the generating function of g(n) is

5. Show that if f is completely multiplicative, then

for s > abscissa of absolute convergence of the LHS series.