MATHS 3021 Capstone Project in Mathematical Sciences III

ASSIGNMENT 1

Due:  23:59 Monday 12 August

1.  [FB:1-4] Determine whether the equation

for the time rate of change of total energy  E in  a pendulum system is dimensionally correct.   The pendulum system is a bob of mass m swinging on a string of length l held fixed at the top, as shown below, where g denotes gravity acting vertically downwards.  At time t the string is at angle θ(t) relative to vertical.                         (2 marks)

2.  [FB:1-10] Consider the equilibrium heat conduction problem over 0 ≤ x ≤ 1, with conductivity k(u) > 0, depending on the temperature u(x):

where all quantities are dimensional in appropriate units.  The next simplest choice for k(u) after the constant case is to assume that the conductivity depends linearly on temperature, i.e.  k(u) = k0 (1-bu) where b and k0 are positive constants.  This corresponds to a substance where the conductivity decreases as the temperature increases.

(a)  Given [k] = MLT-3 Θ-1, what are the dimensions of k0  and b?                                             (2 marks)

(b)  Show, by solving the equilibrium 1-D heat equation, that

(Make certain discarding the positive sign solution of the quadratic equation is justified.)    (4 marks)

(c)  On a single graph sketch the equilibrium temperature for b = 0.05,  0.1.  Also sketch the constant conductivity case on the same diagram.                          (2 marks)

(d)  Discuss the physical significance of the condition b < 1/10.                                                     (2 marks)