MATH21112 Rngs and Fields

Example Sheet 2 - Rings and Subrings

1.  Let R be the set of functions f : R → R with addition and multiplication defined as

(f + g)(x) = f(x) + g(x) and    (fg)(x) = f(x)g(x) for all x ∈ R.

Show that R is a ring by verifying the ring axioms (R1)-(R4).

2.  Show that Z[√2] = {a + b√2 | a, b ∈ Z}, with addition and multiplication of real numbers, is a ring.  (Hint:  show that it is a subring of R).

3.  Let  SL2 (Z) denote  the  set  of  all  matrices  of  the  form  with

a,b,c, d ∈ Z and ad - bc = 1.

Is this set a ring under matrix addition and multiplication?   Is this set a group under matrix multiplication?

4.  Consider  the  ring  of  matrices 

How many elements are there in this ring?  Write down some subrings of M2 (Z2 ).

5.  Show that the set Q[√2, √3] = {a + b√2 + c√3 + d√6 | a,b,c, d ∈ Q} is a subring of R.

Explain why Q[√2, √3] is the smallest subring of R containing Q, √2 and √3.

(By ‘smallest subring’ here we mean that any other subring S of R which contains Q, √2 and √3 must contain Q[√2, √3].)