MATH21112 Rings and Fields

Example Sheet 3 - Domains

1.  Prove  that  if  R  is  a  domain then  char(R)  =  0  or  char(R)  is  a  prime integer.

2.  Is Mn (R) a domain?

3.  Prove that in a domain R the cancellation  rule applies 

ie. for all a,b, c ∈ R, if ab = ac and a ≠ 0 then b = c.

Give an example of a ring where the cancellation rule does not hold.

4.  Suppose that R is a domain and let a, b ∈ R with a ≠ 0.  Prove that the equation ax = b has at most one solution for x in R.

5.  Show that any ring with exactly three elements must be a domain.

6.  Let p be a prime.  Show that for any  [a]p, [b]p  ∈ Zp

([a]p + [b]p )p  = ([a]p )p  + ([b]p )p.