MATH20212 Algebraic Structures 2

Coursework Take Away Test

1.  Let  Show that S is a subring of M2 

Is S a domain?  Explain your answer.   [6 marks]

2.  Write down all the zero divisors in Z8 .

Find a degree 2 polynomial in Z8 [X] with exactly 4 roots in Z8  and list the roots of this polynomial.   [4 marks]

3.  Consider the  map θ : Z → Z6  × Z4 , defined  by θ(a) = ([a]6, [a]4 ) for all a ∈ Z.  Show that θ is a ring homomorphism.

Describe the kernel of θ and find a generator for ker(θ) as a principal ideal. [5 marks]

4.  Let I = {a + b√2 | a, b ∈ Z, a is even}.

Show that I is an ideal of Z[√2] = {a + b√2 | a, b ∈ Z}.

Explain why I contains no units.    [5 marks]