MTH 223: Mathematical Risk Theory

Tutorial 5 Part I

1.  Given Λ = λ, N has a Poisson distribution with mean λ .  The mixing random variable Λ has a uniform distribution on the interval  (0, 5). Determine the unconditional probability that N ≥ 2.

2.  Let N be the number of claims in an insurance portfolio.  Assume that the conditional distribution of N , given Θ = θ, is a negative binomial NB(θ, 5). Θ has a uniform distribution U(0, 8).

(a)  Calculate the expectation of the number of claims in the portfolio.

(b)  Calculate the variance of the number of claims in the portfolio.

(c)  Calculate the probability that there are at least two claims in the portfolio.

3. Assume that the  conditional  distribution of X ,  given Θ  =  θ, is  a Bernoulli distribution with mean θ .  The distribution of Θ is a beta distribution BET(1, 3).

(a)  Show that X has a Bernoulli distribution and identify the param- eter for the Bernoulli distribution.

(b)  Show that the conditional distribution of Θ, given X = 0, is a beta distribution and identify the parameters for the beta distribution.

4.  Given Θ = θ , N has a Poisson distribution with mean θ . The random variable Θ has a p.d.f.

(a) Determine the p.m.f. of the mixed distribution.

(b)  Show that the mixed distribution is also a compound distribution. Identify the primary and secondary distributions.

Hint: In this part, the logarithmic distribution with parameter β, which has a p.m.f.

may be involved. The logarithmic distribution has a p.g.f. as follows