Lineare Algebra II

Ubungsblatt 1

SS 2024

Aufgabe 1. Es sei K ein K¨orper und A, B ∈ Kn×n . Zeigen Sie, dass die Matrizen AB und BA dieselben Eigenwerte haben.

[Hinweis: Sei v ∈ Kn ein Eigenvektor von AB mit Eigenwert λ ≠ 0. Dann gilt Bv ≠ 0.]

Aufgabe 2. F¨ur n ∈ N bezeichne Vn ⊆ R[x] den Unterraum der Polynome vom Grad ≤ n. Betrachte die lineare Abbildung

Dn : Vn → Vn

                                     f 7→ (x 2 − 1)f'' + 2xf'.

a) Bestimmen Sie die darstellende Matrix von Dn bez¨uglich der Basis

X = (1, x, x2 , . . . , xn ).

b) Zeigen Sie, dass die Eigenwerte von Dn durch k(k + 1) f¨ur 0 ≤ k ≤ n gegeben sind.

c) Finden Sie Eigenvektoren zu den in b) bestimmten Eigenwerten im Fall n = 3.

d) Finden Sie eine invertierbare Matrix A ∈ R4×4 sodass

AD3A−1

eine Diagonalmatrix ist.