Lineare Algebra II

Ubungsblatt 8

SS 2024

Aufgabe 1. Bestimmen Sie f¨ur die Matrix

die Jordan-Normalform. und eine Jordan-Basis.

Aufgabe 2. Sei V ein endlich dimensionaler C-Vektorraum, f ∈ EndC(V ) und λ ∈ C ein Eigenwert von f. Betrachte die linearen Unterr¨aume

ker(f − λidV ) ⊂ ker((f − λidV ) 2 ) ⊂ ker((f − λidV ) 3 ) ⊂ · · · ⊂ V .

Da V endlich dimensional ist, gibt es ein k ∈ N sodass

ker((f − λidV ) k ) = ker((f − λidV ) k+i )

f¨ur alle i ∈ N. Sei e ∈ N das minimale k mit dieser Eigenschaft. Zeigen Sie:

a) e ist genau die Vielfachheit von λ als Nullstelle des Minimalpolynoms µf .

b) ker((f − λid)k ) und Bild((f − λid)k ) sind f-invariante Unterr¨aume von V f¨ur alle k ∈ N.

c) ker((f − λid)e ) und Bild((f − λid)e ) sind komplement¨ar.

d) Die Einschr¨ankung von f − λid auf Bild((f − λid)e ) ist ein Isomorphismus.

Aufgabe 3. Gegeben seien die Matrizen

a) Zeigen Sie, dass A und J ¨ahnlich sind, d.h., J ist die Jordan-Normalform. von A.

Bemerkung: Die Matrix A enth¨alt mehr Nullen als J. Das Beispiel1 zeigt also: Es ist nicht wahr, dass die Jordan-Normalform. die darstellende Matrix f¨ur eine gegebene Abbildung ist, die die meisten Nullen enth¨alt. Trotzdem sind Rechnungen mit J einfacher weil die Jordan-Normalform. an die invarianten Unterr¨aume angepasst ist.

b) Bestimmen Sie eine Jordan-Basis f¨ur A.

c) F¨ur eine Matrix C ∈ R n×n sei ihr Exponential e C ∈ R n×n definiert durch die Potenzreihe

(wobei C 0 = En). Bestimmen Sie e A.