ORBS7220/MATH4837 Risk and Portfolio Management

Assignment 2

Instructions:  Layout the intermediate steps systematically.  Give exact answers or round them to 4 decimals unless specified otherwise.  For percentages (e.g.  return and volatility), show 4 decimals after conversion to percentages, e.g.  ^σ = 12.3456%, not 0.1235.

1.  [20 marks] A three-year bond with a yield of 6% p.a.  (continuously compounded) pays

a 4% coupon at the end of each year.  The face value is $100. (a)  What is the bond's yield duration?

(b)  Use the duration to estimate the bond's price if the yield decreases 0.1%.

(c)  Recalculate the bond's price on the basis of a 5.9% per annum yield (continuously compounded). What is the error of the prediction in part (b)?

(d)  Suppose that a second bond with a market price of $105 and a duration of 2.5 is used to hedge against interest rate risk.  How much face value of the second bond should one short for each $100 face value of the first bond?

2.  [30 marks] The values of a stock index over four days are given in the table below.

The volatility on Day 2 is estimated with ^(σ)2  = ju1 j .

(a)  Estimate the daily volatility ^σ3  on Day 3 using the EWMA model with λ = 0.95.

(b)  Estimate the  daily volatility  ^σ3   on  Day  3  using the  GARCH(1,1)  model with α = 0.01, β = 0.95, γ = 0.04, and σL  = 0.01.

(c)  Calculate the log-likelihood for part (b).

(d)  Estimate the  daily volatility  ^σ3   on  Day  3  using the  GARCH(1,1)  model with α = 0.02, β = 0.96, γ = 0.02, and σL  = 0.02.

(e)  Calculate the log-likelihood for part (d).

(f)  Which set of parameters, part (b) or (d), is better?

3.  [20 marks] A bank has two $10m one-year loans

If Loan 1 defaults, the loss will be either $5m or $10m, with equal probability.  If Loan 2 defaults, the loss will be either $2m, $4m, $6m, $8m or $10m, with equal probability. For each loan, a profit of $1m will be made in case of no default.

(a)  Calculate the one-year 97% VaR for the portfolio of two loans.

(b)  Calculate the one-year 97% ES for the portfolio of two loans.

4.  [30 marks] Now is the end of Day 3.  The stock price, daily return, and daily volatility over 4 days are depicted in the table. An investor has purchased 1000 shares.

(a)  Use historical simulation to estimate the volatility-adjusted daily losses  (under Scenario 1 to 3).

(b)  Using the results in part (a), calculate the one-day 50% VaR on Day 4.

(c)  Using the results in part (a), calculate the one-day 50% ES on Day 4.