MATH2003J,  OPTIMIZATION IN  ECONOMICS,

BDIC  2023/2024,  SPRING

Problem Sheet 9

Θ  Question 1:

Determine whether each of the following is True or False.

(a) The set S1 = {(x,y, z) ∈ R3  : x2  + 2y2 + 3z2 ≤ 12} is closed and bounded.

(b) The set S2 = {(x,y, z) ∈ R3  : 2x + y − z ≤ 10} is closed and bounded.

(c) The set S3 = {(x,y, z) ∈ R3  : x2 + y2 + z2 < 25} is closed and bounded.

(d) The set S4 = {(x,y, z) ∈ R3  : x2 + y2 + z2  ≤ 16, 4x + 3y − 5z ≤ 20} is closed and bounded.

(e) The set S5 = {(x,y, z) ∈ R3  : x3  + y2 + z ≤ 10} is closed and bounded.

(f) The set S5 = {(x,y, z) ∈ R3  : x2 + y2 + z-2 ≤ 10} is closed and bounded.

Θ  Question 2:

(I) Let S1 = {(x, y) ∈ R2  : x2 + y2  ≥ 1}.  Is S1  closed and/or bounded?  Give an example of a continuous function f : S1 → R which does not achieve a maximum nor a minimum on the set S1 .

(II) Let S2  = {(x,y, z) ∈ R3  : x2 + y2 + z2  < 1}.  Is S2  closed and/or bounded?  Give an example of a continuous function g : S2  → R which does not achieve a maximum nor a minimum on the set S2 .

(III) Let S3  = {(x, y) ∈ R2  : x2 + y2 + 2x ≤ 0}.  Is S3  closed and/or bounded?  Give an example of a non-continuous function h : S3  → R which does not achieve a maximum on the set S3 .

Question 3:

Consider the function

f : R2 → R,    f(x, y) = 4x2 + 2y2

subject to the constraint g(x, y) = x2 + y2 + 4y ≤ 5.

(I) Sketch the feasible set and explain why f achieves extrema (maximum and minimum) subject to the above constraint.

(II) Find the maximum and mininimum of f subject to the above constraint. 

Θ  Question 4:

Consider the function

f : R2 → R,    f(x, y) = xy2

subject to the constraint g(x, y) = x2 + 2y2 ≤ 3.

(I) Sketch the feasible set and explain why f achieves extrema (maximum and minimum) subject to the above constraint.

(II) Find the maximum and mininimum of f subject to the above constraint.