Homework 1

Due on Friday, January 24th

Instructions:

• Install pdflatex, R, and RStudio on your computer.

•  Please  edit  the  HW1 First Last .Rnw  file  in  Rstudio  and  compile  with  knitr  instead  of Sweave.   Go to the menu RStudio| Preferences . . . | Sweave choose the knitr option, i.e., Weave  Rnw  files  using  knitr? You may have to install knitr and other necessary pack- ages.

•  Replace  ”First”  and  ”Last”  in  the  file-name  with  your  first  and  last  names,  respectively. Complete your assignment by modifying and/or adding necessary R-code in the text below.

• You should submit both the data and the HW1 First Last.Rnw file in a zip-file in Canvas. The zip-file should be named ”HW1 First Last.zip” and it should contain all the necessary data files, the HW1 First Last .Rnw and HW1 First Last.pdf file, which was obtained from compiling HW1 First Last .Rnw with knitr and LATEX.

NOTE: ”First” is your first name and ”Last” your last name.

•  The GSI grader will unzip your file and compile it with Rstudio and knitr. If the file fails to compile due to errors other than missing packages, there will be an automatic 10% deduction to your score. Then, the GSI will proceed with grading your submitted PDF.

• Data. The zip-file should include also the ” .csv” file with the stock market data you down- loaded frin WRDS  so that when everything is unzipped in one  folder,  the  GSI is  able to compile and reproduce your PDF.

Problems:

1. (a) Read the tutorial on accessing and downloading data from WRDS available on this link.

(b) Execute a query in  Center for Research in  Security Prices,  LLC  (CRSP) database to download the closing daily prices of the stocks with tickers TSLA and NVDA for the period Jan 1, 2022 through Dec 31, 2024.

(c) Place the resulting csv file in a desired folder in your computer and modify the following code  to  produce  plots  of daily  prices,  returns,  log-returns,  and  a  scatter-plot  of the log-returns of TSLA against those of NVDA.

Identify the times of splits if any for the TSLA and NVDA stock in this period, if any.

Uncomment, i.e., remove the  ’%’, in the following lines when ready to  compile.  Remove  also \begin{verbatim} and \end{verbatim} in the  ”.Rnw” file.

%  <>=

%  dat  =  read.csv("data_file.csv",header=TRUE)

%  #  Add  code  here  to  populate  the  necessary  variables . %  par(mfrow=c(2,2))

%  plot(times$AAPL,stocks$AAPL,type="l")

%  plot(times$TSLA,stocks$TSLA,col="red")

%  #  Add more  code . . .

%  @

2.  Download the  file  ”sp500 full.csv”  available  in the  Data folder  of the  Files section  in Canvas.  It provides the data on daily prices and returns  (among other things) of the S&P

500 index. This is the same data set used in lectures.

(a) Plot the time-series of daily returns and daily log-returns.  You need to identify which variable gives the returns and also compute the log-returns from the daily closing values of the index.  Comment on the extreme drops in daily returns/log-returns.  Can they be associated with known market events?

(b) Plot the auto-correlation functions of the  1-day  (i.e., daily), 5-day,  10-day and 20-day log-returns and their squares.

(c) Provide a table of the basic summary statistics for the 4 time series from part (b).  That is, compute the minimum, 1st quartile, the median, the 3rd quartile and the maximum, for the k-day log-returns for k = 1; 5; 10; and 20.  You can modify the code in the ”.Rnw” file that produces:

returns = list("r1"=rnorm(100),"r5"=rnorm(50), "r10" = rnorm(20), "r20"=rnorm(10)) # The list is populated with random numbers, which you'd have to replace by the # corresponding returns. sum.stat = lapply(returns,summary) # What does this command do? x = matrix(0,nrow=4,ncol=6,dimnames=list(c("1-day","5-day","10-day","20-day"), names(sum.stat$r1))) x[1,]=sum.stat$r1 x[2,]=sum.stat$r5 x[3,]=sum.stat$r10 x[4,]=sum.stat$r20 kable(x)

	Min.	1st Qu.	Median	Mean	3rd Qu.	Max.
1-day	-3.567441	-0.5695184	-0.0377745	-0.0477111	0.7411075	2.110397
5-day	-1.622665	-0.6787439	0.1826113	0.0351285	0.7654330	2.101873
10-day	-1.649655	-0.5967488	-0.2456982	-0.1598409	0.3084510	1.703530
20-day	-2.057332	-1.1316308	-0.3999786	-0.3146389	0.7523935	1.237850

3. (a) Using  the  same  data  set  as  in  the  previous  problem,  make  a  2  × 2  array  of normal quantile-quantile plots. You can uncomment and and modify the following code

%<>=

%par(mfrow=c(2,2))   %qqnorm(returns$r1)

%qqline(returns$r1,col="red") %qqnorm(returns$r5)

%qqline(returns$r5,col="red")

%qqnorm(returns$r10)

%qqline(returns$r10,col="red") %qqnorm(returns$r20)

%qqline(returns$r20,col="red") %@

(b) What can you say about the tails of the returns?

4. (a) Goto the US Treasury web-site and lookup the annual yield to maturity of US government issued zero-coupon bonds of maturities 3 months, 5 years and 30 years, respectively.  What are the names of these 3 types of securities?

(b) Suppose that a bond with maturity T = 30 years, PAR $1000 and annual coupon payments C is selling precisely at its par value.  Determine the value of the coupon payments  C.  You can assume that the yield to maturity is the one you found in part (a), corresponding to maturity T = 30.

(c) Use the R-function uniroot to find the yield to maturity of a 30-year, par $1000 bond with annual coupon payments of $40, which is selling for $1200 now.  Provide the R-code as well as the output.

uniroot(function(x)(sin(x)-0.5), interval=c(0,pi/2))$root - pi/6 ## [1] -1.687498e-07 # Put your code above...

Hint: Write an R-function that computes the price of a bond with yield to maturity r, annual coupon payments C, par value PAR and maturity T.  You can borrow the function definition from the lectures.  You can then use this function in your call to uniroot as I did in class, for example.

5.  Suppose (although this is dangerously far from reality) that the daily log-returns of the S&P

500 are independent and identically distributed N (μ, σ2 ).

(a) Using the data in file ”sp500 full.csv”, estimate μ and σ with the sample mean and standard deviation.

(b) Using the independence and Normality assumptions, compute the value-at-risk at levels Q = 0.05 and Q = 0.01, i.e., VaR0.05  and VaR0.01  for the k-day log-returns, where k = 1, 5, 10 and 20.

Hint: What is the distribution of the k-day log-returns, under the assumptions in the problem.

(c) Provide a 2-row table of the proportion of times the k-day log-returns were lower than the -VaRQ  values computed in part (b) for Q = 0.05 and Q = 0.01.  That is, each entry in the table is the proportion of time the k-day log-losses were worse than the corresponding value-at-risk.

p = matrix(0,nrow=2,ncol=4) colnames(p) = c("1-day","5-day","10-day","20-day") rownames(p) = c("0.05", "0.01") # Put your code here that populates p with the desired empirical proportions kable(p)

	1-day	5-day	10-day	20-day
0.05	0	0	0	0
0.01	0	0	0	0

Comment on the results.  What should the values of these empirical frequencies be for models that agree with the data?

6.  In this problem we will first find a slightly more appropriate model for the log-returns of the SP500 index data set.  The idea is to replace the increments of the normal random walk model in the previous problem with t-distribued increments.  We will do so by trial and error and eyeballing QQ-plots.  More sophisticated inference methods will come shortly.

(a) As in Problem  2  above,  load the  SP500 data set from file  sp500 full .csv.   Select  a consecutive  period  of  10 years.   Standardize  the  log-returns  in this period  and  produce  a series of QQ-plots of the daily log-returns against simulated samples from the standardized t-distribution for varying degrees of freedom v = 2.1; 3; 4; . . ..  Pick a value for the degrees of freedom v > 2 that result in the QQ-plot with the best fit.  Produce a QQ-plot with this “best fit” value as well as with two other values of v – one smaller and the other larger. You can use some of the following code as a template and modify it as you see fit. Comment on why the value of v you chose is reasonable.

%<>=

%sp500  =  read.csv("sp500_full.csv",header=TRUE)

%t.sp  =  as.Date(x=as.character(dat$caldt),format="%Y%m%d")

%idx  =  which(t.sp>as.Date("2000-01-01")  &  t.sp  < as.Date("2010-01-01")) %rt = diff(log(sp500$spindx[idx]));

%mu  = mean(rt); %sig  =  sd(rt);

%rt_standardized  =  (rt-mu)/sig; %

%%  The  following  function  produces  the  desired  QQ-plots . %

%qqplot_against_std  <- function(standardized_log_returns,nu = 2 .1){ % require(fGarch)

%  n  =  length(standardized_log_returns);

%  qqplot(standardized_log_returns,fGarch::rstd(n,nu  =  nu), %            xlab="SP500  standardized  log-returns",

%           ylab  =  "standardized  t-distribution  samples",  main=paste("QQ-plot:  nu  =  ",nu)); %abline(a=0,b=1,col="red")

%}

%   %@

(b) In the previous part, we have obtained using graphical methods a rough fit of the SP500 log-returns via the follwing model:

rt = log(St) - log(St-1 ) = μ + σ∈t ,                                        (1)

where ∈t  follow the standardized t-distribution with v degrees of freedom and St  is the value of the SP500 index on day t.

Read Problem 4 on page 13 of Ruppert & Matteson.

Modify the code therein where the returns are modeled as in (1) and write an R-function that takes as an input the mean μ and the standard deviation σ of the log-returns, the parameter v of the degrees of freedom for the standardized t-distribution, and niter.  The output of the function should be the simulation-based estimate of the probability of default for the hedge fund.

Produce a table or a graph with the default probabilities as a function of v > 2 and the volatility σ .  Comment on how do the volatility and the weight of the tail  (represented by the  parameter  v)  afect  the  default  probability. Note: Initially,  use  μ  =  0.05/253  and σ = 0.23/√253 as in the text and vary v.  Then you can fix a value of v and vary σ .  Feel free to also produce heat-map images or 2-way tables of the default probability for a range of values of v and σ .