Math 6B

Worksheet 7

Winter 2025

Due Monday, Feb 24, at 11:59pm.

1. Evaluate the line integral

where

(a)  C is the circle x2 + y2 = 1.

(b)  C is the circle (x — 1)2  + (y — 1)2  = 1.

2. Evaluate the work done by the force field F(x, y) = ⟨x, x2 + 3y2⟩ on an object moving along the straight line segments (0, 0) →  (4, 0) →  (2, 4) →  (0, 0), which is a triangle.

3. Let R(x1, x2, x3) = 2x1i + x1x2 2 j + x1x2x3 k and  S be the surface boundary of the solid bounded by x12 + x22  = 1, x12 + x22  = 4, x3  = 0, and x3  = 4. Evaluate the flux of R out of S.

4. Evaluate  (x12  + x22)dS, where S is that section of the paraboloid x3   = 2(x12  + x22) between x3 = 0 and x3  = 4, along with the disc x12 + x22  ≤ 2, x3  = 4, oriented outwards.

5. Let R(x1, x2, x3) = x1 2 i + x2 2 j + x3 2 k, and C be the boundary of the circle x12 + x22  = 4 with x3  = 4 and CCW orientation when viewed from the origin.  Evaluate the circulation  R · dr.

6. Let F(x1, x2, x3)  =  (2x1  + x2) i + (2x2  — x1)j,  and C be the helix C(t)  =  ⟨cost, sint, t⟩, t ∈ [0, 3π], along with the long segment from (—1, 0, 3π) to (1, 0, 0). Evaluate the circulation  F · dr.