MATH38032 Time Series Analysis

Examples sheet 2

1.  Consider a stationary time series {xt} with mean 0 and suppose we want to predict xt  using the infinite past xt−1 , xt−2 , . . . .

(a)  How do we construct a linear predictor of xt?

(b)  In what sense is a linear predictor of xt  the best?

(c) What is the necessary and sufficient condition for a linear predictor xt  to be the best?

(d)  Do the coefficients of the best linear predictor xt  change with t?

(e) What if only a finite past xt−1 ,. . . , xt−k  is available? Answer (a)-(d) above. (f) What if the time series has a non-zero mean µ? Answer (a) above.

2.   (a) What is the partial autocorrelation at lag k ≥ 1?

(b)  How is the partial autocorrelation at lag k > 1 different from the autocorrelation r (k)?

(c)  How do we write the partial autocorrelation φkk  as a correlation? Explain the notation.

(d)  Give an example of a stationary time series with partial autocorrelation φkk  = 0 for all k ≥ 1. (e) What are the Yule-Walker equations for φki , i = 1,..., k?

(f)  How does the Durbin-Levinson algorithm solve the Y-W equation?

3.  Let

be the best linear predictor of xt. Show that

is the best linear ‘predictor’ of xt  using future values xt+1 , xt+2 ,. . . . [Hint: use the orthogonality condition in Theorem 3.]

4.  Find the partial autocorrelation function of the time series given by

(a)  

(b)  xt = ε t+ θε t−1 , t ∈ Z,

where |φ| < 1 and {ε t} ~ WN(0, σ2 ).  [Hint:  solve the  Y-W eqns for k = 1  and k = 2  using autocovariances from sheet 1.  Then for (a),after finding xt(k)  = xt(1) when k = 2, use the orthogonality condition to show that it is also true for k > 2. Part (b) is harder, you can stop at k = 3. Answers: (a) φ11  = a and φkk  = 0, k > 1.  (b) φkk= −(−θ)k (1− θ2)/(1− θ2k+2), k ≥ 1.]