Nonlinear econometrics for finance

HOMEWORK 3

GMM, MLE and Volatility

Problem  1.   (45  points) Return  to the first problem in Assignment  2. Consider, again, the Cobb-Douglas production function:

qt  = θ 1 kt(θ)2 lt(θ)3  + εt ,                                          (1)

where qt is output/production, kt is capital and lt is labor. Assume E(εtjkt , lt ) = 0.

Questions:

1.  (15  Points)  You  have  already  estimated the  model with  NLS.  Now, you will estimate it with GMM. Adapt the code  “gmm-vs-nls” to es- timate the model in Eq.  (1) using GMM and, again, the Mizon data. Report  (1) estimates,  (2) standard errors and  (3) t-statistics for the three parameters and comment on the  statistical significance of your estimates.

Note: You  should choose four moment conditions.   In other words, you should estimate an over-identified model.

2.  (10 Points) Evaluate “constant returns to scale” by testing  H0  : θ2  + θ3  = 1 using the GMM estimates.

3.  (10 Points) Evaluate “constant returns to scale” by testing H0  : θ2  = 0.2 and θ3  = 0.8 using the GMM estimates.

4.  (10 Points) Implement Hansen’s test of over-identified restrictions.

Problem 2.   (25 points) Consider  a  sample  (x1 , x2, ..., xT )  of  Bernoulli random variables with T observations.   As you  know from your statistics classes, these are random variables which take on the value 1 with probability p and the value 0 with probability 1 — p. Hence,

L({x}, p)   =   p(xT , xT -1 , · · · , x1 , p)

=   p(xT , p)p(xT -1 , p) · · · p(x1 , p)

Note that p(xt , p) = px t(1 — p)(1-xt)  because, if xt  = 1, we obtain p.  If xt  = 0, we obtain (1 — p).

Questions:

1.  (5 Points) Write the standardized logarithmic likelihood for this model.

2.  (20 Points) Adapt the code “mle-Normal” to (1) define a Python func- tion for the standardized log-likelihood, (2) estimate the single param- eterp and (3) compute standard errors for your estimate with the two methods discussed in class (i.e., with Ω0  and with B0 ).

Problem 3.  (30 points) Estimate a GARCH(1,1)-M model by ML using the data in S&P500daily-level.xlsx:

rt     =   α + βht + εt ,

εt    = √htut  with Et-1 (ut ) = 0 and Et-1 (ut(2)) = 1,

ht     =   µ* + δ* ht-1 + φ* εt(2)-1 ,

Assume the errors (ut ) are normal.

Questions:

1.  (25  points)  Modify the code  “mle-GARCH”  to estimate this model.    Compute (1) parameter estimates, (2) standard errors and (3) t-statistics. Report all figures in a table.

2.  (5 points) Plot the time series of the conditional variances.  Do you see any interesting event?