MATH 524, Fall 2024

Nonparametric Statistics

Second assignment, due Monday, October 21, 2024, noon

1.  In a study of the comparative tensile strength of tape-closed and su- tured wounds, the following results were obtained on 10 rats, 40 days after incisions on their backs had been closed by suture or by surgical tape.  [These data are from a paper by Ury and Forrester published in The American Statistician, vol. 24 (1970), pp. 25–26].

Rat number:        1        2       3       4        5       6        7       8       9      10

Test the hypothesis of no effect against the alternative that the tape- closed wounds are stronger using the sign test and Wilcoxon’s signed- rank test.  Without showing detailed calculations, state the results of the same tests when the tensile strength of each of the taped wounds

is decreased by a) 5 units; b) 10 units. Comment.

2.  In the above study of the effect of tape closing on wounds, use the Nor- mal approximation to determine for what values of Wilcoxon’s signed- rank test statistic the null hypothesis of no effect should be rejected at

the 5% significance level when a) N = 20; b) N = 40; c) N = 60.

3.  Suppose  that  in  the  comparison  of a  new  headache  remedy  with  a standard one, the expressions of preference for the new drug by nine subjects are as follows:

The new remedy is...

... than the standard remedy

Show how Wilcoxon’s signed-rank test statistic, Vs* , can be used in this case, and find its p-value.

4. The following data report the weight (in lbs) that 12 first-graders were able to lift before and after an 8-week muscle-training program.  [These data are from a paper by Schweid, Vignos, and Archibald in the Amer- ican Journal of Physical Medicine, vol. 41 (1962), pp. 189–197.]

Determine the values of the estimators θ(¯),  θ(˜),  and  θ(ˆ) of θ,  under  the

assumption that Pr(D ≤ x) = L(x−θ) can be expressed in terms of the cumulative distribution function L of a distribution that is symmetric with respect to the origin.

5. Prove that the power function Π(∆) = Pr(Vs  ≥ v | ∆) of Wilcoxon’s signed-rank test is non-decreasing in ∆ and such that if the nominal level of the test is comprised between 2 −N  and 1 − 2−N , Π(∆) → 0 or

1 as ∆ → −∞ or +∞, respectively.

6. The shift model for paired data (X, Y) consists in assuming that there exists a constant ∆ ∈ [0, ∞) for which the distribution of Y − ∆ is the same as the distribution of X .  In this context, it can be shown that the Pitman efficiency of the sign test with respect to Wilcoxon’s signed-rank test is given by

where Z = Y − X has distribution L under H0  : ∆ = 0 and ℓ denotes the corresponding density.

a)  Compute eS,V (L) when L is Cauchy, Normal, and Uniform.

b)  Show that eS,V (L) ≥ 1/3 when L is unimodal.

c)  By considering densities defined, for all z ∈ R and α ∈ (0, ∞), by

show that eS,V (L) can be arbitrarily large, and interpret the result.