Homework 3

STATS 4A03

Due on Crowdmark by Friday, March 1st at 11:59pm

Guidelines:  Unless otherwise specified, you are required to justify and prove all your answers.

You are welcome and encouraged to collaborate with other students on homework assignments, and you should feel free to discuss the problems and talk about how to come up with solutions with each other. However, you are expected to write all your solutions independently of any collaborators and you should not share written solutions with other students before the deadline. If you collaborate with other students, you must cite any collaborators that you had on any given problem.

You may use the textbook and lecture slides. You are discouraged from using outside resources (online, Math stack, etc.), but if you decide to do so, you must cite all your sources. If your solution is too similar to the cited one, you may lose credit on the problem.

Your homework grade will be based on completeness plus the correctness of a random subset of four (4) problems.

Exercise 1. Suppose {Yt } is a time series such that Yt  = et + cet - 1 + cet -2 + · · · + ce0  for all t > 0.

a) Find the mean and covariance functions for {Yt }, and determine whether or not {Yt } is stationary.  Simi- larly, find the mean and covariance functions for {▽Yt }, and determine whether or not {▽Yt } is stationary.

b) Find the values p,d, q so that {Yt } is an ARIMA(p,d, q) model.

Exercise 2. Consider a stationary process {Yt }.  Prove that if P1  < 1/2, then the variance of ▽Yt is larger than the variance of Yt.

Exercise 3. Consider the following two models:

Yt  = 0.9Yt - 1 + 0.09Yt -2 + et

Yt  = Yt - 1 + et  — 0.1et - 1 .

a) For each model, find the values p,d, q so that {Yt } is an ARIMA(p,d, q) model and determine whether or not each is stationary.

b) Under stationarity assumptions, for each model, determine its general linear process representation and its invertible representation.

Exercise 4. From  a  time  series  of  100  observations,  we  calculate  r1   =  —0.49,  r2   =  0.31,  r3   =  —0.21, r4  = 0.11,  and  jrkj  < 0.09 for k > 4. Based on this information alone, what model would we tentatively specify for the series? You must justify your answer.

Exercise 5. The  sample  ACF  for  a time  series  and  its  first  diference,  with  n  =  100,  are  given  in the following table:

Based on the information in the table, what model would we tentatively specify for the series?  You must justify your answer.