EEE 203 Signals and Systems

PRACTICE FINAL EXAM

Note this practice exam only cover materials after the Midterm. The materials covered by the Midterm are not repeated here.

1.   (Fourier Transform) Compute the continuous time Fourier transform of the following signals:

(a) y(t) = dt/d[e −3tu(t)]

(b) y(t) = e −3(t−2)u(t − 2)

(c) Z(t) = e −3(t − u(t − 2).

2.   (Fourier Transform) Consider the following interconnection of continuous-time LTI systems.

(a) If ℎ1 (t) = te−2tu(t), what is H1(jw)?  (b) If ℎ2 (t) = sin(0.3πt), what is H2(jw)?

(c) What is the overall frequency response H(jw)?

(d) What is the overall impulse response ℎ(t)?

3.   (Fourier Transform)

(a) The Fourier transform. X(jw) of continuous time signal x(t) is shown below. What is x(t)?

(b) Sketch the Fourier transform P(jw) of p(t) = cos().

(c)  Sketch the Fourier transform Y(jw) of y(t) = x(t)p(t).

4.   (DTFT) Compute the discrete time Fourier transform. of the following signals:

(a) y[n] =  − u[n − 2]

(b) y[n] = u[n + 2] − u[n − 3]

(c) Z[n] = u[n + 1] − u[n − 4]

5.   (DTFT) Consider the following interconnection of discrete-time LTI systems.

(e) If ℎ1 , what is H1

(f)  If ℎ2 [n] = sin(0.3πn), what is H2(ejw )? (g) What is H(ejw )?

6. Consider the continuous-time signal x

(a) Plot X(jw), the Fourier transform of x(t).

(b) If Ts  = 0.2s, plot Xp(jw), the Fourier transform of xp(t) = x(t) ∑k(∞)=−∞δ(t − KTs).

(c) For what valuesofTs  would aliasing occur? Justify your answer.

7.    (Sampling) The signal y(t) = x1 (t)x2 (t) is sampled by a periodic impulse train. It is known that x1 (t) is band limited to 500π and x2 (t) is band limited to 1000π . What is the Nyquist rate of the signal y(t)?

8.   (Laplace Transform) Consider the following interconnection of continuous-time LTI systems with two subsystems in parallel, with impulse responses ℎ1 (t) and ℎ2 (t). If the unit step

response is y  e −2tu  e 2tu , and it is known that ℎ1 = e −2tu

(a) What is the impulse response ℎ2 (t)?

(b) What is the overall impulse response ℎ(t)?

(c) Is the overall system stable? Why? Is the overall system causal? Why?

(d) Does the continuous time Fourier transform exist for ℎ(t)? Justify your answer.

9.   (Laplace Transform) Consider a continuous time LTI system for which the input x(t) and output y(t) are related by the differential equation

(a) Determine the system function H(s). Sketch the pole-zero plot.

(b) Determine ℎ(t) if the system is causal.

(c) Determine ℎ(t) if the system is stable.

(d) Determine ℎ(t) if the system is neither causal nor stable.

10. (Z Transform) Consider the following interconnection of discrete time LTI systems with

ℎ1 [n] = δ[n − 1] − δ[n − 2] and ℎ2 [n] = n−1 u[n + 2] .

(a) Find the Z transforms, H1(z) and H2(z). Specify the ROC in each case.

(b) Compute H(z) , the Z transform of the overall system. Sketch the pole-zero plot with ROC.

(c) Does the discrete time Fourier transform exist for ℎ[n]? Justify your answer.

11. (Z Transform) The transfer function of a discrete-time LTI system is given by

(a) What is the difference equation describing the system?

(b) Find the impulse response ℎ(t) if it is a two-sided signal. Is the system causal? Why? Is the system stable? Why?

(c) Find the impulse response ℎ(t) if it is a right-sided signal. Is the system causal? Why? Is the system stable? Why?

(d) Find the impulse response ℎ(t) if it is a left-sided signal. Is the system causal? Why? Is the system stable? Why?